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每日一题[906]论证与构造
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每日一题[906]论证与构造
时间:2017-07-14 来源:未知 作者:北京新东方扬州外国语
2017-07-12 19:56来源:数海拾贝

原标题:每日一题[906]论证与构造

已知含有个元素的正整数集(,)具有性质:对任意不大于(其中)的正整数,存在数集的一个子集,使得该子集所有元素之和等于.

(1) 写出的值;

(2) 证明:“成等差数列”的充要条件是“

”;

(3) 若,求当取最小值时,的最大值.

分析与解(1) ,.

(2) 根据第(1)小题的结果,若成等差数列,那么有于是

又由于,于是,其中.因此

等号当且仅当时取得.因此当

时,成等差数列.

综上所述,原命题得证.

(3) 的最大值为,这是因为如果,那么这就意味着当时,无法用满足题意的方式凑出;取即可完成符合题意的的构造.接下来只需要证明不可能小于.若,那么数集的非空子集个数为,因此最多表示个不同的,不符合要求.

综上所述,原命题得证.

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